學習數學的四個層次：(3) 在許多行業的應用

學習數學的四個層次：(0) 如何學數學，(1) 代表具備基礎的知識與能力，(2) 邏輯推理和抽象思考的能力，(3) 在許多行業的應用，(4) 純粹滿足好奇心或求知慾。

2015/12/1 初稿，持續更新中。

一般性說明

• 數學是科學之母，科學則是工業的基礎，所以大學工學院的數理化課程總學分超過 1/3。可以參考如何選填大學志願。
• 應用在不同的領域 (理工商醫農、教育)，如財務工程、設計電腦、貨物產銷、工程師、使用統計學分析學習成效等等。
• 抽象的模式與思考的方式，適用於現在與未來的應用，以微分為例，物理學的距離微分是速度，經濟學中成本的微分是邊際成本，電子學的電荷微分是電流。也就是說，可以使用函數表示任何待解的問題，函數的微分便可以研究其變化和極值的情況，例如機器學習中，超參數 (hyperparameter) 的學習 。
• 基本的原則變動不大，微積分、機率和統計學、和線性代數已經有 200 年以上的歷史，可幫助未來的自我學習。許多人說學校學的東西，畢業後立即過時或沒用，我覺得很疑惑。大學只是基礎教育，必須不斷地學習新的東西，以因應產業和職務的變化；最近熱門的大數據 (big data) 和人工智慧 (artificial intelligence)，其數學基礎正是這些課程。
  

具體的例子 (第 4 部份也有部份相關的例子)

• 瓦基，底層邏輯 2 (podcast) (new)
• game theory: coursera，思辨賽局 (The Art of Strategy)
• 徐惠莉，藝術的數學密碼 (Mathematics Code in Arts)
• 單維彰，文化脈絡中的數學
• 賴以威，超展開數學教室：數學宅 X5 個問題學生，揪出日常生活裡的數學 BUG，臉譜，2015
• 電腦動畫師，例如以下 Disney 和 MIT 所提供的影片 Computational Design of Mechanical Characters，使用函數多項式。也可以參考 Khan Academy 和 Pixar 推出的課程，或者進一步的說明。大學有許多相關的系所，也可以考慮資工系，以打下穩固的基礎。

• 軟體工程師，例如網頁排序或追蹤的推薦，必須解聯立方程式和使用機率分析。矩陣也用來描述系統狀態，是強化學習 (Reinforcement Learning) 的基礎。
• 資料庫管理：用來儲存企業和顧客的資料，並且使用結構化查詢語言 (Structured Query Language, SQL) 來查詢相關的資料，例如今天需要交貨的顧客名單、交貨量和地點。SQL 的理論基礎是集合論。許多的資訊類科系和管理學院都有教這門課程。
• 製造或服務系統中的排隊 (queueing)，例如 IBM 的電腦生產或遊樂場的安排，必須使用機率分析。一般而言，工業工程學系的作業研究二或隨機模式教這種系統的分析；許多系也有使用此重要的工具，例如交通管理系 (考慮車子的等候時間)、資工系 (考慮訊息在網路上的時間)、企管或資管系 (考慮顧客在系統的等候時間) 等等。　　  
• 影像、語音、(手機) 信號的分析，屬於電機系的一組：利用三角函數分析這些訊號，稱為傅立葉轉換 (Fourier transform)。 
• 使用人工神經網路 (artificial neural networks) 分析工程系統，係結合許多的神經元以模擬人腦的思考，神經元 (neuron) 的基本構成函數為指數函數或逐段線性函數 (piecewise linear function)。有廣泛的應用，例如讓電腦自己看 YouTube，然後辨識影片中的貓，是目前熱門的應用，稱為深度學習 (deep learning)。課程名稱眾多，分布在理工醫商農學院，例如類神經網路、智慧型系統、資料探勘、機器學習。
• 熱門的大數據 (big data)，也需要數學。例如微積分、線性代數 (矩陣運算)、機率和統計、最佳化 (optimization) 或作業研究 (包括線性規劃)。　　
• 微分方程式：可以用來描述電荷流動或物體的運動，例如作業 7.4-4、8.2-6，需要使用三角函數和指數函數。這門課在許多理工學院是必修課，常常稱為工程數學。可以參考橋樑崩塌的過程，所以土木系的人要研究此問題。

         

           也包括機 (械) 電 (機) 整合的機器人。

• 虛數的應用：一開始是為了解決沒有實數解的方程式，例如 x^2 + x + 1 = 0。透過尤拉公式 (Euler's formula) e^(i a) = cos a + i sin a 和指數函數的特性 (e^a * e^b = e^(a + b))，有許多有趣的應用，例如動畫中的旋轉、物理中的運動方程式、多媒體分析 (影像、語音)。　
• 三角函數：李雅筑，用三角函數算角度，華康字型稱霸日本，商業周刊 1515 期， 2016/11
• 統計學：經濟學家 D. McFadden 使用線性迴歸來預測人的搭車行為，得到諾貝爾獎  (此講義第 2 頁)。使用線性迴歸來預測酒的品質 (此講義第 13 頁)。Google 的首席經濟學家 Hal Varian 說 "The sexy job in the next 10 years will be statisticians."  (註 1)。統計學在大資料 (big data) 佔有重要的地位，所以念統計系也是很好的選擇。
• 行銷學中新產品預測，屬於管理的一部份：Bass model 使用指數函數和機率分析之 (註 2)。此講義第 7 頁開始。
• 經濟學：利用次方函數描述生產力 (此講義第 4 頁)。利用統計學和指數函數，來預測消費者的購買行為，屬於行銷的應用 (此講義第 12 頁) (註 3)。經濟學是商學的基礎，所以念經濟系也是很好的選擇。
• 利用指數函數算退休儲金，可能出現在財務管理、保險系等等。

(註 1) Thomas H. Davenport and D.J. Patil, Data Scientist: The Sexiest Job of the 21st Century, Harvard Business Review, 2012 October.

(註 2) Frank Bass, A New Product Growth for Model Consumer Durables, Management Science, 1969,  15 (5), pages 215–227. 

(註 3) Peter M. Guadagni and John D. C. Little, A Logit Model of Brand Choice Calibrated on Scanner Data, Marketing Science, 1983, 2 (3), pages 203–238.