學習數學的四個層次：(2) 邏輯推理和抽象思考的能力

學習數學的四個層次：(0) 如何學數學，(1) 代表具備基礎的知識與能力，(2) 邏輯推理和抽象思考的能力，(3) 在許多行業的應用，(4) 純粹滿足好奇心或求知慾。

2015/12/1 初稿，持續更新中。

一般性說明

• D. Bok, Our Underachieving Colleges, Princeton University Press, 2007. 張善楠譯，大學教了沒？，天下文化，2008。二十一世紀八個教育目標之一『思辨能力』。(註 1)
• 程式的邏輯 (if 和 for) 數十年沒有變化，學好數學有助於邏輯能力的培養，參考計算機程式補考後的人生。

具體的例子

• 我常講的一個例子是常態分配 (normal distribution)。
• 有同學去參加直銷的座談會，演講者總是會說某某人只有高中畢業，但是年薪卻有千萬。據同學的轉述，還有許多頂尖大學的學生因此而放棄大學學業；學生因此買了許多商品， 回來之後卻賣不出去。行行出狀元，各行各業當然有都有薪資很高的人士，但是，那個屬於離群值 (outlier)。賺大錢除了努力外，還有許多無法掌握的變因。那麼多人學過統計學，卻不曾有人問過該行業的平均薪資和標準差。真確一書的例子。
• 另外一個，則是忽略了相關的歷史背景；社會常舉的例子是王永慶和郭台銘；但是，以他們的年紀，他們的學歷在當時的社會是常態。當然，教育的目的不僅僅只是收入；根據調查顯示，一個國家的教育水準比較高，國民的社會參與也比較高，比較容易形成穩定的公民和民主社會；也可以參考余英時評政治現實 (第 210 - 211頁)，關於慈禧太后和阿拉伯世界的觀察。
• 選舉到了就有許多的民意調查，身為公民，如何去解讀這些統計數字？例如看好度、抽樣樣本、信賴區間等等。現在有些人沒有固網電話，傳統的抽樣方法無法訪問到只有手機的人，導致民意調查有誤差。但是，也是有很準確例子，例如美國大選。
• 邏輯推理對於軟體工程師非常重要，台灣和全球目前急缺這方面的人才。

(註 1) D. Bok 為哈佛大學 (Harvard University) 前校長。