單變數微積分

函數有三大類，冪函數 (power function，x^n)、指數對數、和三角函數。透過五種規則變成更複雜的函數，分別為加、減、乘、除、和複合函數 (composite function)，例如
(加) x^3 + x (是多項式)
(減) exp (x) - log (x)
(乘) sin (x) * x^3
(除) x^3 / (cos (x) + 1) 或 2 x / (x^2 + 1) (是有理式)
(複合) sqrt(3 x) 或 sin ( 2 x ) 

所以微分的第一個重點就是瞭解三大類基本函數的微分，然後加減乘除和複合函數微分的規則。就解題技巧而言，必須先判斷該函數是上述規則的那一種，例如 x^3 / (cos (2 x) + 1) 本身是相除，分母的 cos 屬於複合三角函數。

微分的代數意義是 (微小) 變化量，幾何意義是切線斜率，念書時最好畫張圖幫助理解，所以微分的第二個重點就是瞭解其應用，例如求極值、畫圖；較好的方法是利用簡單且易畫圖 (幾何) 的函數瞭解之，例如 x^2、-x^2、 x^3、x^4 等等，清楚得知一二次微分 (代數) 和極值的關係，可以加深其理解，避免記一堆沒有用的公式。另外則是和物理學 (1) 和經濟學的關係，例如距離的微分是速度，成本函數的微分是邊際成本。

上述的兩大重點間是相關的，例如從國高中數學得知，直線 y = x 的斜率 (傾斜的比率 delta y / delta x) 為 1，其微分也為 1；水平線 y = c 的斜率是 0，其微分為 0；拋物線 x^2 的微分是 2 x，代表 x 越大，x^2 的增加速度越快；cos(x) 的微分為 -sin(x)，從下圖中的例子中 (cos 為紅色曲線，sin 為黑色曲線) (2)，可以清楚地理解 cos 在 pi / 2 的 (直線的) 切線斜率是 -1，而 sin (pi / 2) = 1： 

微分總複習可參考我的講義第 1 到 8 頁。 

積分的目的是求面積，和微分互為反運算，兩者之間的關係稱為微積分基本定理，可參考我的講義第 9 到 12 頁。 

積分的技巧較難，基本的四種方法為取代法 (Integration by Substitution)、 部份分式 (partial fraction)、部分積分法 (integration by part)、和三角代換法 (trigonometric substitution) (3)，這些方法的目的是將複雜的被積分函數變成較簡單的函數，例如取代法的 u^100 (第 9 頁)、有理式的部份分式法 (第 20 頁)、部分積分法的 ln (3x) (第 20 頁)、有 1 + (或 -) x^2 開根號的三角代換法 (第 21 頁)。更複雜的函數，可以參考書籍 (4)。

當然，許多函數的積分是不存在的，求近似積分的方法是利用 Riemann sum (第 10 頁)、蒙地卡羅模擬法 (第 22 頁)、或泰勒多項式。

有趣的是，常態分配的積分無法使用上述四種方法求其面積，但是，可以利用雙變數的極座標轉換，證明其面積為一 (第 20 到 22 頁)。

(1) 微積分的歷史。 
(2) 同事介紹的免費軟體 geogebra，很容易使用。
(3) wiki 上更多的方法。
(4) 例如　Ronald J. Tallarida, Pocket Book of Integrals and Mathematical Formulas, 4th Edition, Chapman and Hall/CRC, 2008.